西姆松定理的证明及证明思路
作者：I'm hh | 发布时间：
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- 引理
引.1 什么是三点共线？ 三点共线，数学中的一种术语，属几何类问题，指的是三点在同一条直线上， 。可以设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）
引.2 如何证明三点共线？
方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 .代入第三点坐标 看是否满足该解析式 （直线与方程）.
方法二：设三点为A、B、C .利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）.
三点共线
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线.方法四:用梅涅劳斯定理.
方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法.
方法七：证明其夹角为180°.
方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0.
方法九：帕普斯定理.
方法十：利用坐标证明。即证明x1y2=x2y1.
方法十一：位似图形性质.
方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，则ABC三点共线
方法十三：张角定理
这些是百度上给出的，证明三点共线的基本方法
- 西姆松定理（Simson theorem），亦译为西姆松定理，是关于平面几何中的点共线的两个定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线，此线常称为西姆松线或译西摩松线（Simson line）。西姆森定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上
图形表示 
如图，A,B,C,P在圆上，过点P作AB,AC,BC的垂线，垂足分别为N,M,L，则有LNM三点共线 之后，我们来证明西姆松定理： ∵PN⊥AB,PL⊥BC，所以有PNBL四点共圆，于是由圆周角定理，我们有∠PBL=∠PNL 同理可知，PNMA四点共圆，于是∠PNM+∠PAM=180° 在内接四边形PACB中，我们还有∠PBC+∠PAM=180° ∴∠PBC=∠PNM 而∠PBC+∠PBL=180° 于是，∠PNM+∠PNL=180° 根据上面证明三点共线方法的第七条，可证明N,M,L三点共线 因此，西姆松定理得证
- 总结
我们从上面的证明过程可以看出，在证明这一类共线问题时，基本思路是通过四点共圆实现角的转化，再利用内接四边形对角互补的性质得出夹角为180°，即三点共线